Наименьшее возможное значение n равно 15.

Для этого возьмем 7 четных чисел, например: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14 и одно нечетное число, например, 1.

Сумма этих чисел будет равна 57, которая делится на 8 без остатка. В это же время, если у нас будет 14 чисел, то среди них обязательно найдется 7 четных и 7 нечетных, сумма четных чисел всегда будет делиться на 8, но сумма четных и нечетных чисел будет иметь остаток при делении на 8.