Пусть количество пятиугольников равно x, количество шестиугольников равно y, количество семиугольников равно z.

Так как поверхность воздушного шарика разбита только на семиугольники, шестиугольники и пятиугольники, то суммарное количество граней всех фигур должно быть одинаковым, то есть:
5x + 6y + 7z = 2 * (x + y + z)

Упростим это уравнение:
5x + 6y + 7z =2x + 2y + 2z
3x + 4y + 5z = 0

Так как каждая грань имеет как минимум 5 сторон, а семиугольников и шестиугольников в сумме меньше, чем пятиугольников, то x > y + z. Подставим это в уравнение:
3(x - y - z) + 4y + 5z = 0
3x - 3y - 3z + 4y + 5z = 0
3x + y + 2z = 0

Так как решение этой системы уравнений существует (x, y, z - натуральные числа), то z < 0, и, следовательно, пятиугольников на 12 больше, чем семиугольников.