Посмотрим на рисунок:

Пусть точка Х находится на удалении 2р от стороны AB треугольника ABC. Обозначим точку пересечения вертикальной проекции Х на сторону AB как D.Также обозначим точки пересечения вертикальной проекции Х на стороны AC и BC как E и F соответственно.

Так как расстояние от точки Х до плоскости ABC равно р, то точки D, E и F будут находиться на расстоянии r от плоскости ABC.

Теперь обратим внимание на треугольники AEX и BFX. Они равнобедренные, так как AE = EX и BF = FX. Это следует из соответствующих углов треугольников ABC и AXE, BXF.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник AED. Мы знаем, что AD = 2r, ED = r, поэтому по теореме Пифагора:
AE^2 = AD^2 - ED^2 = (2r)^2 - r^2 = 4r^2 - r^2 = 3r^2
AE = sqrt(3)*r

Аналогично, для треугольника BFD:
BF = sqrt(3)*r

Итак, расстояния от точки X до вершин треугольника ABC равны: AX = 2r, BX = sqrt(3)r, CX = sqrt(3)r.