Для того чтобы найти длины отрезков АК и КС, мы можем воспользоваться теоремой углового касательного отношения (теорема Стюарта).

Сначала найдем площадь треугольника ABC с помощью формулы Герона:
p = (AB + BC + AC) / 2 = (8 + 14 + 11) / 2 = 33 / 2 = 16.5
S = √(p (p - AB) (p - BC) (p - AC)) = √(16.5 (16.5 - 8) (16.5 - 14) (16.5 - 11)) = √(16.5 8.5 2.5 5.5) = √(16.5 93.875) = √1548.9375 ≈ 39.35

Теперь применим теорему Стюарта для биссектрисы VK:
AC^2 VK = AB AV + BC CV
11^2 VK = 8 AV + 14 CV
121 VK = 8 AV + 14 * CV

Также мы знаем, что S = AV VK = CV VK
Подставим в уравнение:
39.35 = AV VK = CV VK
39.35 = VK^2
VK = √39.35 ≈ 6.27

Теперь подставим значение VK обратно в уравнение:
121 6.27 = 8 AV + 14 CV
756.67 = 8 AV + 14 * CV

Теперь решим эту систему уравнений:
AV + CV = VK
8 AV + 14 CV = 756.67

AV = 8 AV + 14 (VK - AV)
AV = 8 AV + 14 (6.27 - AV)
AV = 8 AV + 87.78 - 14 AV
AV + 14 * AV = 87.78
AV = 4.79

Теперь найдем CV:
CV = VK - AV
CV = 6.27 - 4.79
CV = 1.48

Итак, АК ≈ 4.79 и KС ≈ 1.48.