Для начала найдем радиус описанной окружности. Он равен половине диагонали четырехугольника.

Диагональ четырехугольника равна $\sqrt{2}$ раза стороны. В данном случае сторона равна 20 см, поэтому диагональ равна $20\sqrt{2}$ см.

Таким образом, радиус описанной окружности равен половине диагонали, то есть $\frac{20\sqrt{2}}{2} = 10\sqrt{2}$ см.

Теперь найдем площадь четырехугольника. Для этого воспользуемся формулой площади четырехугольника, который можно разбить на два треугольника:

$$S = 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BD = AC \cdot BD,$$

где AC и BD - это диагонали четырехугольника.

Подставляем значения:

$$S = 20\sqrt{2} \cdot 20\sqrt{2} = 800 \text{ см}^2.$$

Итак, радиус описанной окружности равен $10\sqrt{2}$ см, а площадь четырехугольника равна 800 $\text{см}^2$.