Для начала определим все точки разрыва неравенства.
Для этого найдем все значения x, при которых знаменатель равен нулю:
1) x^2 + x - 12 = 0
(x + 4)(x - 3) = 0
x1 = -4
x2 = 3

2) корень(25 - x^2) = 0
25 - x^2 = 0
x^2 = 25
x1 = -5
x2 = 5

Точки разрыва: -5, -4, 3, 5

Теперь построим знаковую таблицу, используя эти точки и учитывая знаки в каждом из множителей в числителе и знаменателе:

| x < -5 | -5 < x < -4 | -4 < x < 3 | 3 < x < 5 | x > 5

x^2 - x - 2 | - | + | + | - | +
x - 2 | - | - | - | + | +
x^2 + x - 12| + | - | - | + | _
25 - x^2 | + | + | - | - | -

Теперь выясним знак выражения в каждом интервале:
1) x < -5: (-)(-)(+)/(-) = +
2) -5 < x < -4: (+)(-)(+)/(-) = -
3) -4 < x < 3: (+)(-)(-)(+) = -
4) 3 < x < 5: (-)(+)(-)(-) = +
5) x > 5: (+)(+)(-)(-) = -

Теперь найдем интервалы, в которых выражение больше или равно нулю:
1) x < -5: не подходит, так как выражение положительное
2) -5 < x < -4: не подходит, так как выражение отрицательное
3) -4 < x < 3: не подходит, так как выражение отрицательное
4) 3 < x < 5: подходит, так как выражение положительное
5) x > 5: не подходит, так как выражение отрицательное

Итак, решение неравенства: 3 < x < 5, x ≠ -5, -4.

Таким образом, количество целых решений данного неравенства равно 1, т.е. только число 4.