Уравнение высоты AK:

Сначала найдем уравнение прямой, содержащей сторону BC треугольника ABC. Уравнение этой прямой можно найти используя уравнение прямой через две точки (уравнение прямой, проходящей через точки (x1, y1) и (x2, y2) имеет вид y - y1 = (y2 - y1)/(x2 - x1) * (x - x1)):

Уравнение прямой BC: y - 0 = (6 - 0)/(7 - 5) * (x - 5)
Уравнение прямой BC: y = 3x - 15

Так как высота AK перпендикулярна стороне BC, то ее коэффициент наклона равен -1/3. Также высота проходит через точку A(0; 3). Теперь можем найти уравнение высоты AK:

Уравнение высоты AK: y - 3 = -1/3 * (x - 0)
Уравнение высоты AK: y = -1/3x + 3

Уравнение высоты BH:

Аналогично, найдем уравнение прямой, содержащей сторону AC треугольника ABC:

Уравнение прямой AC: y - 3 = (6 - 3)/(7 - 0) * (x - 0)
Уравнение прямой AC: y = 3/7x + 3

Так как высота BH перпендикулярна стороне AC, то ее коэффициент наклона равен -7/3. Также высота проходит через точку B(5; 0). Теперь можем найти уравнение высоты BH:

Уравнение высоты BH: y - 0 = -7/3 * (x - 5)
Уравнение высоты BH: y = -7/3x + 35/3

Координаты точки D пересечения высот:

Точка D - точка пересечения высот AK и BH. Решим систему уравнений уравнений высот AK и BH:

y = -1/3x + 3
y = -7/3x + 35/3

-1/3x + 3 = -7/3x + 35/3
4x = 32
x = 8

Подставляем x обратно в уравнение высоты AK:
y = -1/3 * 8 + 3
y = -8/3 + 3
y = 1/3

Таким образом, координаты точки D (8; 1/3).

Длина высот AK и BH:

Для нахождения длины высот AK и BH, можем воспользоваться формулой длины отрезка между двумя точками в декартовой системе координат:

Для AK:
√((0 - 8)^2 + (3 - 1/3)^2) = √(64 + 8.89) = √72.89 ≈ 8.53

Для BH:
√((5 - 8)^2 + (0 - 1/3)^2) = √(9 + 1/9) = √(81/9 + 1/9) = √(82/9) ≈ 3.02

Таким образом, длина высоты AK ≈ 8.53, а длина высоты BH ≈ 3.02.