1)
а) Функция у=2+х/(х+1)^2
Найдем производную функции: у' = (х+1)^2 - 2х(х+1)/(х+1)^4 = (х+1)^2 - 2х/(х+1)^3
Производная равна 0 при х=-1
Точка х=-1 - точка экстремума. Проверим знак производной слева и справа от точки:
При х< -1: у'(х) = (х+1)^2 - 2х/(х+1)^3 < 0, следовательно, функция убывает на (-∞, -1)
При х> -1: у'(х) = (х+1)^2 - 2х/(х+1)^3 > 0, следовательно, функция возрастает на (-1, +∞)

б) Функция у=1+2х/(х^2-9)
У функции нет точек экстремума, так как в знаменателе необходимого многочлена нет корней.

в) Функция у=(х+1)e^-x
Находим производную функции: у' = e^-x (1-x)
Производная равна 0 при х=1
Точка х=1 - точка экстремума. Проверим знак производной слева и справа от точки:
При х< 1: у'(х) = e^-x (1-x) < 0, следовательно, функция убывает на (-∞, 1)
При х> 1: у'(х) = e^-x (1-x) > 0, следовательно, функция возрастает на (1, +∞)

г) Функция у=(х+5)e^-2
Находим производную функции: у' = e^-2 (1-x)
Производная равна 0 при х=5
Точка х=5 - точка экстремума. Проверим знак производной слева и справа от точки:
При х< 5: у'(х) = e^-2 (1-x) < 0, следовательно, функция убывает на (-∞, 5)
При х> 5: у'(х) = e^-2 (1-x) > 0, следовательно, функция возрастает на (5, +∞)

2)
а) Функция у=х^2/(х+1)
Найдем вторую производную функции: у'' = (2х(х+1)-(х^2))/(х+1)^2 = (х(х-1))/(х+1)^2
Уравнение у''=0 не имеет корней
Точек перегиба нет. Для нахождения промежутков выпуклости нужно изучить изменение второй производной.

б) Функция у=-2/(х+1)^2
Вторая производная равна 4/(х+1)^3
Точек перегиба нет. Функция является выпуклой на всей оси.

в) Функция у=хe^-3x
Найдем вторую производную функции: у'' = (2е^(-3х)-9*xe^(-3х))/(е^(-3х))^2 = 2е^(-3х)-9хе^(-3х)
Решим у'' = 0: 2е^(-3х)-9хе^(-3х) = 0 => е^(-3х)(2-9х) = 0 => 2-9х=0 => х=2/9
Точка х=2/9 - точка перегиба

г) Функция у=(х-2)*е^x
Найдем вторую производную функции: у'' = (е^x-(х-2)е^x = e^x(1-х+2) = e^x(3-х)
Решим у'' = 0: e^x(3-х) = 0 => 3-х=0 => х=3
Точка х=3 - точка перегиба

3)
а) Функция f(x)=2/3x^3+4/x^2-10
Исследуем функцию:
Найдем производные:
f'(x) = 2x^2+8/x^3
f''(x) = 4x-24/x^4
f'''(x) = 4+96/x^5
f''''(x) = -480/x^6

Так как f''(x) меняет знак при x=√6, то у функции точка перегиба в этой точке.
Построим график функции на компьютере или в онлайн-приложении.

б) Функция f(x)=-1/3x^3-2x^2+4
Исследуем функцию:
Найдем производные:
f'(x) = -x^2-4x
f''(x) = -2x-4

Решим уравнение f''(x)=0:
-2x-4=0 => x=-2
Это точка перегиба фунцкии.
Построим график функции на компьютере или в онлайн-приложении.