Для определения интервала и монотонности функции f(x) = (12x)/(9+x^2) изучим ее производную.

f(x) = (12x)/(9+x^2)

f'(x) = (12(9+x^2) - 12x2x)/(9+x^2)^2
= (108 + 12x^2 - 24x^2)/(9+x^2)^2
= (108 - 12x^2)/(9+x^2)^2

Теперь найдем точки, в которых производная равна нулю или не существует:

108 - 12x^2 = 0
12x^2 = 108
x^2 = 9
x = ±3

Также рассмотрим точку х = 0.

График функции:

При x < -3, f'(x) > 0 => f(x) убываетПри -3 < x < 0, f'(x) < 0 => f(x) возрастаетПри 0 < x < 3, f'(x) > 0 => f(x) убываетПри x > 3, f'(x) < 0 => f(x) возрастает

Интервалы и монотонность функции:

f(x) убывает на (-∞, -3) и (0, 3)f(x) возрастает на (-3, 0) и (3, +∞)