Уравнение имеет один корень, если дискриминант этого уравнения равен нулю.

Дискриминант квадратного уравнения ax^2 + bx + c = 0 равен D = b^2 - 4ac.

В данном случае уравнение (k-2)x^2 + 2(k-1)x + k = 0 имеет коэффициенты a = k-2, b = 2(k-1), c = k.

Подставим эти значения в формулу дискриминанта:

D = (2(k-1))^2 - 4(k-2)k

D = 4(k^2 - 2k + 1) - 4k(k-2)

D = 4k^2 - 8k + 4 - 4k^2 + 8k

D = 4

Дискриминант равен 4 для всех значений k, поэтому уравнение (k-2)x^2 + 2(k-1)x + k = 0 имеет один корень при любых значениях k.