Пусть у нас есть треугольник ABC с длинами сторон a, b и c. Нам нужно доказать, что длины сторон этого треугольника удовлетворяют неравенству треугольника, то есть a + b > c, a + c > b и b + c > a.

Давайте возьмем любые две стороны треугольника, скажем a и b, и предположим, что a + b ≤ c. Но это означает, что наш треугольник не может существовать, так как сумма любых двух сторон треугольника всегда должна быть больше третьей стороны. Следовательно, наше предположение неверно, и неравенство a + b > c верно для всех сторон.

Аналогично, мы можем доказать, что неравенства a + c > b и b + c > a также верны для треугольника ABC.

Таким образом, мы доказали, что длины сторон треугольника ABC удовлетворяют неравенству треугольника, а значит треугольник с такими сторонами существует. Теорема равенства треугольника по трём сторонам доказана.