Для решения этого дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами, можно использовать метод вариации постоянных.
Дано уравнение: y'' + y' - 2y = 5sin2x2x2x
Сначала найдем общее решение соответствующего однородного уравнения: y'' + y' - 2y = 0
Характеристическое уравнение такого уравнения будет иметь вид: r^2 + r - 2 = 0
r+2r + 2r+2r−1r - 1r−1 = 0
r1 = -2, r2 = 1
Таким образом, общее решение однородного уравнения будет иметь вид: yh = C1 e^−2x-2x−2x + C2 e^x
Теперь найдем частное решение неоднородного уравнения методом неопределенных коэффициентов. Поскольку правая часть уравнения содержит sin2x2x2x, будем искать частное решение в виде: yp = Asin2x2x2x + Bcos2x2x2x
Подставляя yp в исходное уравнение, найдем значения коэффициентов A и B.
Для решения этого дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами, можно использовать метод вариации постоянных.
Дано уравнение: y'' + y' - 2y = 5sin2x2x2x
Сначала найдем общее решение соответствующего однородного уравнения: y'' + y' - 2y = 0
Характеристическое уравнение такого уравнения будет иметь вид: r^2 + r - 2 = 0
r+2r + 2r+2r−1r - 1r−1 = 0
r1 = -2, r2 = 1
Таким образом, общее решение однородного уравнения будет иметь вид: yh = C1 e^−2x-2x−2x + C2 e^x
Теперь найдем частное решение неоднородного уравнения методом неопределенных коэффициентов. Поскольку правая часть уравнения содержит sin2x2x2x, будем искать частное решение в виде: yp = Asin2x2x2x + Bcos2x2x2x
Подставляя yp в исходное уравнение, найдем значения коэффициентов A и B.
yp' = 2Acos2x2x2x - 2Bsin2x2x2x yp'' = -4Asin2x2x2x - 4Bcos2x2x2x
Подставим yp, yp' и yp'' в исходное уравнение:
-4Asin2x2x2x - 4Bcos2x2x2x + 2Acos2x2x2x - 2Bsin2x2x2x - 2Asin(2x)+Bcos(2x)Asin(2x) + Bcos(2x)Asin(2x)+Bcos(2x) = 5sin2x2x2x
2A−2B−2A2A - 2B - 2A2A−2B−2A cos2x2x2x + −2B−2B−4A-2B - 2B - 4A−2B−2B−4A sin2x2x2x = 5sin2x2x2x
-4A = 5, -4B = 0
A = -5/4, B = 0
Итак, найденное частное решение неоднородного уравнения: yp = -5/4sin2x2x2x
Таким образом, общее решение неоднородного уравнения будет иметь вид: y = yh + yp = C1 e^−2x-2x−2x + C2 e^x - 5/4sin2x2x2x