Пусть у нас есть два подобных многоугольника с коэффициентом подобия k.

Обозначим периметры данных многоугольников как P1 и P2 соответственно.

Так как многоугольники подобные, их стороны соответственно пропорциональны с коэффициентом k, то есть сторона первого многоугольника относится к соответствующей стороне второго многоугольника как k.

Следовательно, P1 = a1 + b1 + c1 + ... + n1, где a1, b1, c1, ..., n1 - стороны первого многоугольника и P2 = a2 + b2 + c2 + ... + n2, где a2, b2, c2, ..., n2 - стороны второго многоугольника.

Так как a1 = ka2, b1 = kb2, c1 = kc2, ..., n1 = kn2, то мы можем выразить P1 и P2 следующим образом:

P1 = k (a2 + b2 + c2 + ... + n2) = k P2

Таким образом, мы доказали, что отношение периметров двух подобных многоугольников равно коэффициенту подобия k.