Для начала найдем длину сторон треугольника ABC.
Пусть x будет общим множителем коэффициентов пропорциональности, тогда AB = 13x, AC = 10x.

Так как ABC - вписанный треугольник, то угол ABC = угол ADC = 72 градуса.

Так как у треугольника ABC сумма углов равна 180 градусов, то угол BAC = 180 - 72 - 72 = 36 градусов.

Так как треугольник BAC прямоугольный с углом BAC = 36 градусов, то угол BCA = 90 - 36 = 54 градусов.

По теореме синусов:
AB/sin(BCA) = R => 13x / sin(54) = R
AC/sin(BAC) = R => 10x / sin(36) = R

13x / sin(54) = 10x / sin(36)
13 / (2 sin(54)) = 10 / (2 sin(36))
13 / sin(54) = 5 / sin(36)
13 / sin(54) = 5 / (sqrt(10 - 2 sqrt(5)))
13 / sin(54) = 5 / (2 sqrt(5) - 2)

R = 13 (2 sqrt(5) - 2) / sin(54) ≈ 8.90

Таким образом, радиус окружности, вписанной в треугольник ABC, равен примерно 8.90.