Для нахождения площади фигуры, ограниченной кривой p=sin(4θ) в полярных координатах, нужно воспользоваться формулой для вычисления площади в полярной системе координат:

S = (1/2) ∫[a,b] (p^2) dθ,

где a и b - углы, на которых границы фигуры пересекаются с осью абсцисс.

В данном случае у нас кривая задана уравнением p=sin(4θ). Для определения границы интегрирования необходимо найти значения θ, при которых кривая пересекается с осью абсцисс. Так как sin(4θ)=0 при 4θ = kπ, где k - целое число, получаем, что θ = kπ/4.

Таким образом, границы интегрирования будут от 0 до π/4, так как при θ=0 и θ=π/4 кривая пересекается с осью абсцисс.

Теперь можем вычислить площадь фигуры:

S = (1/2) ∫[0,π/4] (sin(4θ))^2 dθ.

Продолжим решение, заменив sin^2(4θ) через тригонометрическую формулу:

sin^2(4θ) = (1/2)(1-cos(8θ)).

Итак, площадь фигуры

S = (1/2) ∫[0,π/4] (1/2)(1-cos(8θ)) dθ = (1/4) [θ - (1/8)sin(8θ)]| от 0 до π/4

Подставляем верхний и нижний пределы интегрирования:

S = (1/4)[(π/4) - (1/8)sin(π) - 0 + (1/8)sin(0)]

Так как sin(π)=0 и sin(0)=0, получаем:

S = (1/4)(π/4) = π/16.

Итак, площадь фигуры, ограниченной кривой p=sin(4θ), равна π/16.