Пусть изначально Оля ввела число x. После первого нажатия кнопки получим число (\frac{x-1}{x+1}), после второго нажатия - (\frac{\frac{x-1}{x+1}-1}{\frac{x-1}{x+1}+1}) и так далее.

Таким образом, после 202 нажатий кнопки Оля получит:

(\frac{\cdots \frac{\frac{\frac{x-1}{x+1}-1}{\frac{x-1}{x+1}+1}-1}{\frac{\frac{x-1}{x+1}-1}{\frac{x-1}{x+1}+1}+1} \cdots -1}{\cdots +1} = 22)

Чтобы решить эту задачу, можно воспользоваться методом обратной индукции.

Известно, что после 202 нажатий кнопки получаем 22. Значит, перед предпоследним нажатием кнопки получим:

(\frac{\frac{21}{23}-1}{\frac{21}{23}+1} = 22)

Решив это уравнение, мы найдем, что x = 21.

Итак, Оля изначально ввела в калькулятор число 21.