Для доказательства возрастания функции f(x) = x + 1/x на промежутке x < -1, необходимо показать, что производная этой функции положительна на данном промежутке.

Найдем производную функции f(x):
f'(x) = 1 - 1/x^2

Для доказательства возрастания функции на промежутке x < -1, нужно показать, что f'(x) > 0 при x < -1.

Подставим x < -1 в производную функции:
1 - 1/(-1)^2 = 1 - 1 = 0

При x < -1 производная равна 0, что означает, что функция f(x) может иметь экстремум на данном промежутке.

Однако, чтобы доказать возрастание функции на промежутке x < -1, так как производная не является строго положительной на данном промежутке, можно провести исследование знаков производной в окрестностях точки x = -1.

При x < -1, f'(x) = 1 - 1/x^2 < 0, т.е. производная отрицательна.

Таким образом, функция f(x) = x + 1/x убывает на промежутке x < -1, следовательно, она не возрастает на данном промежутке.