Для начала построим рисунок:

[\begin{array}{c|c}
\hline
& ABCD \
\hline
BB_1 & A_1B_1C_1D_1 \
\hline
CC_1 & ADBC_1 \
\hline
\end{array}]

Так как ABCD и A1B1C1D1 - квадраты со стороной 6 см, то BC = AA1 = 6 см.
Также из условия известно, что CC1 = 8 см.

Теперь обратимся к треугольнику A1CC1.
Найдем длину AC1:
[AC_1^2 = AA_1^2 + C_1C^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100]
[AC_1 = 10\text{ см}]

Теперь перейдем к косинусу искомого угла.
Косинус угла между векторами можно найти по формуле:
[ \cos{\theta} = \frac{A_1C \cdot BB_1}{|A_1C| \cdot |BB_1|} ]

[A_1C = \sqrt{BC^2 + AC_1^2} = \sqrt{6^2 + 10^2} = \sqrt{36 + 100} = \sqrt{136} \text{ см}]
[BB_1 = BC = 6 \text{ см}]

Подставляем значения в формулу для нахождения косинуса угла:
[\cos{\theta} = \frac{6 \cdot \sqrt{136}}{10 \cdot 6} = \frac{6\sqrt{136}}{60} = \frac{\sqrt{34}}{5}]

Итак, косинус угла между A1C и гранью BB1C равен (\frac{\sqrt{34}}{5} \cdot \sqrt{34} = \frac{34}{5}).

Ответ: (\frac{34}{5}).