Для начала определим, при каких значениях x функция f(x) = x ^ 2 - 2|x| + ax + 2 будет принимать значение 4a + 2.

Поскольку выражение 4а + 2 является константой, то найдем производную функции f'(x) и приравняем ее к нулю для поиска экстремумов:
f'(x) = 2x - 2*sgn(x) + a

теперь приравниваем производную к нулю:
2х - 2sgn(x) + а = 0
2х = 2sgn(x) - a
x = sgn(x) - a/2

Теперь подставим это значение x в функцию f(x), чтобы найти минимальное значение при выполнении условия f(x) > 4a + 2:
f(x) = (sgn(x) (1 - a)) ^ 2 - 2 |sgn(x)| + a * sgn(x) + 2

Так как функция может принимать различные значения в разных интервалах, рассмотрим 2 случая при sgn(x) = 1 и sgn(x) = -1.

Для sgn(x) = 1:
f(1 - a/2) = (1 - a) ^ 2 - 2 + a + 2
f(1 - a/2) = 1 - 2a + a ^ 2 + a + 1
f(1 - a/2) = a ^ 2 - a + 2

Для sgn(x) = -1:
f(-1 - a/2) = (-1 - a) ^ 2 - 2 + a - 2
f(-1 - a/2) = 1 + 2a + a ^ 2 - a - 2

Теперь найдем минимальное значение для функций при условии f(x) > 4a + 2:
a ^ 2 - a + 2 > 4a + 2
a ^ 2 - 5a > 0
a (a - 5) > 0

Решая неравенство a (a - 5) > 0, получаем:
a > 0 и a < 5

Таким образом, наименьшее целое значение а будет 1.