Пусть у нас есть выпуклый многогранник и плоскость, пересекающая его. Пусть точка A принадлежит плоскости, а точка B принадлежит многограннику, но не принадлежит плоскости.

Так как многогранник выпуклый, то отрезок AB содержится в многограннике. Рассмотрим точку C на отрезке AB, ближайшую к точке B, которая принадлежит плоскости. Поскольку C лежит на отрезке AB и принадлежит плоскости, отрезок AC является отрезком, лежащим в плоскости и находящийся внутри многогранника.

Теперь рассмотрим два треугольника ABC и ABB'. Поскольку отрезок AB содержится внутри многогранника, треугольник ABC также содержится внутри многогранника. Треугольник ABB' содержится вне многогранника. Поскольку треугольник ABC содержится внутри многогранника, а треугольник ABB' - нет, то плоскость разделяет многогранник на два выпуклых многогранника.

Таким образом, мы доказали, что плоскость, пересекающая выпуклый многогранник, делит его на два выпуклых многогранника.