Пусть искомое число будет равно х.
Тогда по условию задачи мы можем записать два уравнения:
х = 77k + 71 (1)
х = 96m + 73 (2)
где k и m - целые числа.

Используя систему уравнений (1) и (2), найдем такие целые числа k и m, при которых справедливо:
77k + 71 = 96m + 73

Преобразуем уравнение:
77k - 96m = 2

Для поиска решения данного уравнения воспользуемся расширенным алгоритмом Евклида. Найдем НОД(77, 96) и представим его в виде линейной комбинации 77 и 96.
96 = 1 77 + 19
77 = 4 19 + 11
19 = 1 11 + 8
11 = 1 8 + 3
8 = 2 3 + 2
3 = 1 2 + 1
2 = 2 * 1 + 0

Из обратной цепочки разложения найдем выражение для НОД(77, 96):
1 = 3 - 2
1 = 3 - (8 - 2 3)
1 = 3 3 - 8
1 = 3 (11 - 8) - 8
1 = 3 11 - 4 8
1 = 3 11 - 4 (19 - 11)
1 = 7 11 - 4 19
1 = 7 (77 - 4 19) - 4 19
1 = 7 77 - 32 19
1 = 7 77 - 32 (96 - 77)
1 = 39 77 - 32 96

Таким образом, найденное решение уравнения 77k - 96m = 2 имеет вид:
k = -32, m = -39

Подставляем найденные k и m в уравнение (1) или (2), например, в уравнение (1):
х = 77 * (-32) + 71
х = -2464 + 71
х = -2393

Так как искомое число должно быть натуральным и меньше 77, то находим остаток от деления числа -2393 на 77:
-2393 mod 77 = 71

Таким образом, искомое число, удовлетворяющее условиям задачи, равно 71.