Для доказательства того, что непрерывная и биективная функция на отрезке $$a;b$$ монотонна на этом отрезке, можно воспользоваться теоремой Дарбу.

Теорема Дарбу утверждает, что если функция f$x$ непрерывна на отрезке $$a;b$$ и принимает на этом отрезке два различных значения, то она принимает все промежуточные значения между ними.

Поскольку функция биективна, то она принимает все значения на интервале между f$a$ и f$b$. Из этого следует, что функция строго возрастающая $илистрогоубывающая$, то есть монотонная на отрезке $$a;b$$.

Таким образом, можно сделать вывод о том, что непрерывная и биективная функция на отрезке $$a;b$$ монотонна на этом отрезке.