Доказательство:

База индукции: При n=1 левая часть равна 1^3 = 1, а правая (1)^2 = 1. Утверждение верно.

Предположение индукции: Пусть для некоторого натурального числа k справедливо, что 1^3 + 2^3 + ... + k^3 = (1 + 2 + ... + k)^2.

Шаг индукции: Докажем, что из предположения индукции следует, что равенство верно и для k+1.

Рассмотрим сумму 1^3 + 2^3 + ... + k^3 + (k+1)^3. По предположению индукции знаем, что 1^3 + 2^3 + ... + k^3 = (1 + 2 + ... + k)^2, то есть сумма первых k кубов равна квадрату суммы чисел от 1 до k.

Таким образом, 1^3 + 2^3 + ... + k^3 + (k+1)^3 = (1 + 2 + ... + k)^2 + (k+1)^3 = ((k(k+1)/2)^2) + (k+1)^3 = ((k^2 + 2k + 1)/4)(4(k+1)^2) = (k+1)^2*(k+1)^2 = (1 + 2 + ... + k + (k+1))^2.

Таким образом, утверждение верно для любого натурального числа n по принципу математической индукции.