Для того чтобы квадратичный трёхчлен $$4x^2-12xy+k^2y^2$$ был полным квадратом, необходимо, чтобы он был представим в виде $$(2x - ky)^2$$

Раскрывая скобки, получаем:
$$(2x - ky)^2 = 4x^2 - 4kxy + k^2y^2$$

Сравнивая это выражение с данным квадратичным трёхчленом $$4x^2-12xy+k^2y^2$$, получаем, что $$-4k = -12$$, или, что то же самое, $$k = 3$$.

Таким образом, при значении $$k = 3$$ выражение $$4x^2-12xy+9y^2$$ является полным квадратом.