Выш. мат Даны координаты вершин пирамиды А1А2А3А4. Даны точки А1, А2, А3, А4. Найти:
a) уравнение и длину высоты А40, опущенной из А4 на грань А1А2 А3;
б) уравнение медианы А4С грани А1А2А4;
b) объём тетраэдра А1А2A3A4;
г) угол между прямой А1А3 и плоскостью А1А2А3.
Если A,(2,3,2), A2(8,0, -4), A,(11,1,0), A,(3,5,4).
Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Question

Выш. мат Даны координаты вершин пирамиды А1А2А3А4. Даны точки А1, А2, А3, А4. Найти:
a) уравнение и длину высоты А40, опущенной из А4 на грань А1А2 А3;
б) уравнение медианы А4С грани А1А2А4;
b) объём тетраэдра А1А2A3A4;
г) угол между прямой А1А3 и плоскостью А1А2А3.
Если A,(2,3,2), A2(8,0, -4), A,(11,1,0), A,(3,5,4).
Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Главная

Вопросы и ответы

Вопросы и ответы по математике

Выш. мат Даны коорди...

eva

8 Окт 2023 в 19:40

39 +1

0

Helper · Answer 1

а) Уравнение плоскости, содержащей грань А1А2А3 и проходящей через точку А4 $3, 5, 4$ :
Найдем направляющий вектор этой плоскости:
Вектор AB = B - A = $8 - 2, 0 - 3, - 4 - 2$ = $6, - 3, - 6$ Вектор AC = C - A = $11 - 2, 1 - 3, 0 - 2$ = $9, - 2, - 2$ Нормальный вектор на плоскость: n $A 1 A 2 A 3$ = AB x AC = i $6 < e m > (- 2) - (- 3) < / e m > (- 2)$ - j $6 < e m > 9 - (- 3) < / e m > (- 2)$ + k $6 < e m > (- 2) - (- 3) < / e m > 9$ = i $- 12 - 6$ - j $54 - 6$ + k $- 12 - 27$ = i $- 18$ - j $48$ + k $- 39$ = $- 18, 48, - 39$

Уравнение плоскости:
-18x + 48y - 39z + D = 0
Подставляем координаты точки А4 $3, 5, 4$ :
-183 + 485 - 39*4 + D = -54 + 240 - 156 + D = 30
D = -54 + 240 - 156 + 30 = 60

Уравнение плоскости:
-18x + 48y - 39z + 60 = 0

Теперь найдем длину высоты А40, проведенной из вершины А4 до плоскости А1А2А3:
h = | $- 18 < e m > 3 + 48 < / e m > 5 - 39 * 4 + 60$ | / √ $18)^2 + 48^2 + (-39)^2$ = | $- 54 + 240 - 156 + 60$ | / √ $324 + 2304 + 1521$ = |90| / √ $4149$ = 90 / 64.4 ≈ 1.40

б) Уравнение медианы А4C грани А1А2А4:
Медиана А4C грани А1А2А4 проходит через середину ребра А1А2 и вершину А4.

Середина ребра А1А2: $s_х, s_у, s_z$ = $(2 + 8) /2, (3 + 0) /2, (2 + (- 4)) /2$ = $5, 1.5, - 1$ Уравнение прямой, проходящей через точки А4 $3, 5, 4$ и середину ребра:
x = 3 + t $5 - 3$ = 3 + 2t
y = 5 + t $1.5 - 5$ = 5 - 3.5t
z = 4 + t $- 1 - 4$ = 4 - 5t

Уравнение медианы:
x = 3 + 2t
y = 5 - 3.5t
z = 4 - 5t

в) Объем тетраэдра А1А2А3А4:
Площадь основания:
S1 = 1/2 * | $(8 - 2) (1 - 0) - (0 - 3) (- 4 - 2) + (3 - 8) (5 - 0)$ | = 27

Расстояние между вершиной A4 и плоскостью основания: h = $182 + 480 - 39*(-4) + 60) / √((-18)^2 + 48^2 + (-39)^2) = 90 / √4149 = 90 / 64.4 = 1.40V = 1/3 S1 h = 1/3 27 1.40 ≈ 12г$ Угол между прямой А1А3 и плоскостью А1А2А3:
Нормальный вектор плоскости A1A2A3 - n $A 1 A 2 A 3$ = $- 18, 48, - 39$ Направляющий вектор прямой A1A3 - A3 - A1 = $11 - 2, 1 - 3, 0 - 2$ = $9, - 2, - 2$

Угол между векторами: cos $α$ = $n, m$ / $∣ n ∣ < e m > ∣ m ∣$ = -189 + 48 $- 2$ + -39 $- 2$ / $18)^2 + 48^2 + (-39)^2) √(9^2 + (-2)^2 + (-2)^2)$ = -162 -96 + 78 / $64.4 < / e m > 9.27$ = -180 / 592.988 = -0.303
α = arccos $- 0.303$ ≈ 108.38°

Ответ:
а) Уравнение плоскости: -18x + 48y - 39z + 60 = 0, длина высоты A40 ≈ 1.40
б) Уравнение медианы: x = 3 + 2t, y = 5 - 3.5t, z = 4 - 5t
в) Объем тетраэдра ≈ 12
г) Угол между прямой А1А3 и плоскостью А1А2А3 ≈ 108.38°

Другие вопросы eva

Другие вопросы
eva