Пусть исходный трёхчлен имеет вид:
[ax^2 + bx + c]
Тогда его дискриминант будет равен:
[D = b^2 - 4ac]

Если свободный член (c) умножить на 81, то получим новый трёхчлен:
[ax^2 + bx + 81c]
Дискриминант этого трёхчлена будет равен:
[D' = b^2 - 4a \cdot 81c = b^2 - 324ac]

Мы знаем, что один из корней исходного трёхчлена равен 4. Значит, это корень удовлетворяет уравнению:
[a \cdot 4^2 + b \cdot 4 + c = 0]
[16a + 4b + c = 0]
[c = -16a - 4b]

Таким образом, новый трёхчлен представим в виде:
[ax^2 + bx - 81(16a + 4b) = ax^2 + bx - 1296a - 324b]

Так как дискриминант нового трёхчлена умножился на 81, то:
[D' = D \cdot 81]
[b^2 - 324ac = (b^2 - 4ac) \cdot 81]
[b^2 - 324a \cdot (-16a - 4b) = (b^2 - 4a \cdot (-16a - 4b)) \cdot 81]
[b^2 + 5184a + 1296b = (b^2 + 64a + 16b) \cdot 81]

Разложим полученное уравнение относительно (b) и найдем его наименьшее значение.
[b^2 + 5184a + 1296b = 81b^2 + 5184a + 1296b]
[(81 - 1)b^2 + (1296 - 1296)b = 0]
[80b^2 = 0]
[b = 0]

Таким образом, наименьший корень нового трёхчлена равен 0.