Обозначим точку пересечения прямых AA1 и BB1 как С.

Так как прямые AA1 и BB1 параллельны, то треугольники AOB и A1B1C подобны (по двум углам).

Из подобия треугольников следует, что

OC/OA = CB/AB = A1B1/AB.

Так как OC = OA - AC, то получаем

(OA - AC)/OA = CB/AB = A1B1/AB.

Раскрыв и преобразуя это равенство, получаем:

AC/OA = A1B1/AB.

Так как OA = OB + AB = a + b, то

AC/(a + b) = A1B1/b.

Далее, из задачи следует, что A1B1 = BB1 = c.

Пользуясь этим и подставляя, находим

AC/(a + b) = c/b.

Отсюда находим, что

AC = c(a + b)/b.

Теперь выразим длину отрезка AA1:

AA1 = OA - AC = a + b - c(a + b)/b.

Производя несложные арифметические действия, получаем

AA1 = (b^2 + c(a + b))/b.

Таким образом, длина отрезка AA1 равна (b^2 + c(a + b))/b.