Для решения этой задачи нам нужно найти пятизначное число n, для которого сумма цифр числа, числа, числа n+1 и числа n+2 одинакова и меньше суммы цифр числа n+3, которая равна 405.

Давайте начнем с поиска подходящего пятизначного числа n. Мы знаем, что сумма цифр всех четырех чисел должна быть одинакова. Поскольку у пятизначного числа сумма цифр не может быть более 45 (9 5), при выборе чисел мы должны ориентироваться на числа, сумма цифр которых не превышает 36 (9 4).

Начнем с числа, у которого сумма цифр равна 36. Попробуем число 99999. Сумма цифр этого числа равна 45, а значит оно не подходит. Теперь приступим к поиску числа с суммой цифр 36.

Попробуем число 89998. Сумма цифр равна 34, что меньше 36, поэтому это число нам подходит. Теперь найдем число n+1, которое должно иметь такую же сумму цифр. Попробуем число 89999. Сумма цифр равна 41, что не подходит. Продолжая эту логику, найдем число n+1 = 98998. Теперь найдем число n+2, также с суммой цифр 36. Попробуем число 98899. Сумма цифр равна 34, поэтому это число не подходит. Продолжая поиск, найдем число n+2 = 98898.

Теперь у нас есть числа: n = 89998, n+1 = 98998, n+2 = 98898. Найдем n+3, которое должно иметь сумму цифр 405. Так как сумма цифр числа 89998 равна 34, а сумма цифр числа 405 равна 9, то нам нужно увеличить сумму цифр числа 89998. Для этого увеличим разницу между числами n+3 и n+2:

405 - 34 = 371

Теперь найдем наименьшее число, у котого сумма цифр равна 371. Попробуем число 49999. Сумма цифр равна 41, что не подходит. Увеличим значение разряда на единицу и уменьшим значение другого разряда:

47777

Проверим сумму цифр этого числа:

4 + 7 + 7 + 7 + 7 = 32

Увеличим значение другого разряда на единицу и уменьшим значение одного разряда:

48666

Сумма цифр этого числа равна 30, что все еще недостаточно. Увеличим значение другого разряда на единицу и уменьшим значение одного разряда:

49555

Сумма цифр этого числа равна 28, что все еще недостаточно. Увеличим значение другого разряда на единицу и уменьшим значение одного разряда:

50444

Сумма цифр этого числа равна 13, что не подходит. Поэтому, нам нужно дальше уменьшить значение одного разряда:

49554

Теперь проверим сумму цифр этого числа:

4 + 9 + 5 + 5 + 4 = 27

Таким образом, наименьшее пятизначное число n, для которого P(n) = P(n+1) = P(n+2) < P(n+3) = 405, равно 89998.