Для решения данного неравенства нам необходимо сравнить степени чисел и найти количество цифр в числе.

7^100 - это число с 48 цифрами, а 5^378 - это число с 180 цифрами.
Таким образом, нам нужно найти число n такое, что количество цифр его квадрата находится между 48 и 180.
Это означает, что n должно быть больше корня из числа 7^100 и меньше корня из числа 5^378.

Так как 7^100 < n^2 < 5^378, то, возводя обе части неравенства в степень 1/2, получим:
7^50 < n < 5^189

Наименьшее целое значение n, которое удовлетворяет этому неравенству, равно 927
(так как 7^50 = 927.36111...)

Наибольшее целое значение n, которое удовлетворяет неравенству, равно 318661877883107268
(так как 5^189 = 318661877883107258

Итак, наименьшее значение, которое может принимать n, равно 927, а наибольшее значение равно 318661877883107268.