Для решения уравнения x^2 - 2 = 0 в 7-адических числах нам нужно найти корни этого уравнения в этом поле.

Представим x в виде последовательности цифр в 7-адической системе:

x = ...a₂a₁a₀.a₋₁a₋₂...

где aᵢ - цифры от 0 до 6.

Подставим это представление x в уравнение:

(...a₂a₁a₀.a₋₁a₋₂...)^2 - 2 = 0

Раскроем квадрат:

...a₂a₁a₀.a₋₁a₋₂... * ...a₂a₁a₀.a₋₁a₋₂... - 2 = 0
...a₂a₁a₀.a₋₁a₋₂...a₂a₁a₀.a₋₁a₋₂... - 2 = 0

Получаем уравнение для поиска корней в 7-адическом поле:

a₋₁a₋₂...a₂a₁a₀.a₋₁a₋₂...a₂a₁a₀ = 2

Теперь, чтобы найти корни этого уравнения в 7-адических числах, мы можем использовать итеративный метод, потому что изначально у нас нет каких-либо начальных условий для приближенного нахождения корня.

Один из подходов - начать с какого-то начального приближения x₀ и итеративно уточнять его, используя формулу:

xₙ₊₁ = xₙ - (f(xₙ) / f'(xₙ)),

где xₙ - текущее приближение, f(xₙ) - значение функции в xₙ, f'(xₙ) - значение производной функции в xₙ.

Таким образом, можно найти корень уравнения x^2 - 2 = 0 в 7-адических числах.