Для начала докажем, что $\pi +e$ не является числом рациональным.

Предположим, что $\pi +e$ - рациональное число. Тогда можно представить его в виде дроби $\frac{a}{b}$, где $a$ и $b$ - целые числа без общих делителей, кроме единицы.

Тогда имеем:

$$\pi +e=\frac{a}{b}$$ $$a=b(\pi +e)$$

Так как $\pi$ и $e$ иррациональные числа, то $b\pi$ и $be$ также будут иррациональными. Следовательно, $a$ будет иррациональным числом, что противоречит тому, что $a$ - целое число.

Теперь докажем, что $\pi \cdot e$ - рациональное число.

Рассмотрим произведение $\pi \cdot e$. Это число уже известно как трансцендентное число, следовательно, $\pi \cdot e$ - иррациональное число и не является рациональным.

Таким образом, доказано, что $\pi +e$ - не рациональное число, а $\pi \cdot e$ - также не является рациональным числом.