Допустим, что самовлюбленных чисел бесконечное количество. Рассмотрим самовлюбленное число с наименьшим количеством цифр. Пусть оно состоит из n цифр.

Пусть это число записано как n1n2...nk, где nk - это n-ая цифра числа.

Тогда мы можем записать это число, как n1^k + n2^k + ... + nk^k = n1111... + n2111... + ... + nk

Так как это самовлюбленное число, мы можем записать его как n1(10^(n-1)+1) + n2(10^(n-1)+1) + ... + nk*(10^(n-1)+1)

Или как (n1+n2+...+nk)*10^(n-1) + (n1+n2+...+nk)

Но так как n1+n2+...+nk = n1^k + n2^k + ... + nk^k, это число равно n*(10^(n-1) + 1), где n - это сумма цифр числа.

Таким образом, мы выразили наше самовлюбленное число в другой форме. Но так как оно самовлюбленное, оно не может быть разложено на сумму своих цифр в другом виде.

Противоречие. Следовательно, количество самовлюбленных чисел конечно.