Пусть даны два числа - x и y.

Тогда по условию задачи имеем:
1) x - y = 16
2) x*y - 553 < x^2 + y^2

Заменим x - y на 16 во втором уравнении:
16y - 553 < 2x^2 + 2y^2
16y - 553 < 2(x^2 + y^2)
16y - 553 < 2((x + y)^2 - 2xy)
16y - 553 < 2((16)^2 - 2xy)
16y - 553 < 2(256 - 2xy)
16y - 553 < 512 - 4xy

Теперь подставим x - y = 16:
16y - 553 < 512 - 4(16 + y)y
16y - 553 < 512 - 64 - 4y^2
4y^2 - 16y + 105 > 0

Далее решим квадратное уравнение:
D = (-16)^2 - 44105 = 256 - 168 = 88
y = (16 +- sqrt(88)) / 8
y = (16 +- 2*sqrt(22)) / 8
y = 2 +- sqrt(22)

Так как y - натуральное число, то y = 2 + sqrt(22)

Подставим найденное y обратно в уравнение x - y = 16:
x - (2 + sqrt(22)) = 16
x = 18 + sqrt(22)

Итак, найденные числа: x = 18 + sqrt(22) и y = 2 + sqrt(22).