Для начала, докажем, что каждое натуральное число представимо в виде суммы двух натуральных чисел-палиндромов.

Пусть n - произвольное натуральное число. Рассмотрим число n+1. Тогда n+1 представимо в виде суммы двух натуральных чисел-палиндромов: n+1 = a + b.

Так как n - натуральное число, то a и b также будут натуральными числами. При этом, a и b - палиндромы, следовательно, a и b будут иметь вид a = 100...001, b = 100....001, где количество нулей между единицами зависит от количества цифр в числе n+1.

Таким образом, каждое натуральное число n представимо в виде суммы двух натуральных чисел-палиндромов.

Теперь докажем, что каждое натуральное число представимо в виде суммы трех натуральных чисел-палиндромов.

Пусть n - произвольное натуральное число. Рассмотрим число n+2. Тогда, как мы уже доказали ранее, n+2 представимо в виде суммы двух натуральных чисел-палиндромов: n+2 = c + d.

Так как n - натуральное число, то c и d также будут натуральными числами. При этом, c и d - палиндромы, следовательно, c и d будут иметь вид c = 100...001, b = 100....001, где количество нулей между единицами зависит от количества цифр в числе n+2.

Таким образом, каждое натуральное число n представимо в виде суммы трех натуральных чисел-палиндромов.

Теорема доказана.