Теорема Пифагора: В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Доказательство:
Пусть у нас есть прямоугольный треугольник ABC с гипотенузой c и катетами a и b. Рассмотрим квадрат гипотенузы:

c^2 = (a + b)^2
c^2 = a^2 + 2ab + b^2 (1)

Теперь рассмотрим квадраты катетов:

a^2 + b^2 = a^2 + 2ab + b^2 - 2ab
a^2 + b^2 = c^2 - 2ab (2)

Из уравнений (1) и (2) следует, что:

c^2 = a^2 + b^2

Таким образом, теорема Пифагора доказана.

Теорема обратная теореме Пифагора: Если сумма квадратов двух сторон треугольника равна квадрату третьей стороны, то треугольник является прямоугольным.

Доказательство:
Пусть у нас есть треугольник ABC, где AB^2 + AC^2 = BC^2. Предположим, что треугольник не прямоугольный. Тогда сумма углов треугольника не равна 180 градусов. Но в прямоугольном треугольнике сумма углов всегда равна 180 градусов. Противоречие.

Следовательно, если сумма квадратов двух сторон треугольника равна квадрату третьей стороны, то треугольник является прямоугольным.