Для решения данной задачи нам нужно найти площади оснований и боковой поверхности усеченного конуса.

Площадь верхнего основания (S1):
S1 = π r1^2, где r1 - радиус верхнего основания
r1 = 1 см
S1 = π 1^2 = π * 1 = π см^2

Площадь нижнего основания (S2):
S2 = π r2^2, где r2 - радиус нижнего основания
r2 = 6 см
S2 = π 6^2 = π * 36 = 36π см^2

Площадь боковой поверхности (Sб):
Sб = π (r1 + r2) l, где l - образующая усеченного конуса
l = √(h^2 + (r2 - r1)^2), где h - высота конуса
h = 12 см, r1 = 1 см, r2 = 6 см
l = √(12^2 + (6 - 1)^2) = √(144 + 25) = √169 = 13 см
Sб = π (1 + 6) 13 = π 7 13 = 91π см^2

Итак, общая площадь поверхности усеченного конуса:
S = S1 + S2 + Sб = π + 36π + 91π = 128π см^2

Ответ: площадь поверхности усеченного конуса равна 128π квадратных сантиметров.