Из условия мы знаем, что треугольник ABC равнобедренный, следовательно, медианы AN и BD равны. Пусть эта длина равна х.

Так как AM и BM являются медианами треугольника ABC, то точка М делит их в отношении 1:2. Значит, AM = 2/3 х, а BM = 1/3 х.

Также, у нас есть теорема о пересечении медиан в треугольнике, согласно которой МR равна половине отрезка AN (или BD). То есть MR = 1/2 х.

Из прямоугольного треугольника MDR по теореме Пифагора, находим RD:
MD^2 + MR^2 = RD^2
4^2 + (1/2x)^2 = RD^2
16 + 1/4x^2 = RD^2

Также, в прямоугольном треугольнике MRP по теореме Пифагора, находим NP:
MR^2 + PR^2 = NP^2
(1/2x)^2 + (2/3x)^2 = NP^2
1/4x^2 + 4/9x^2 = NP^2
13/12x^2 = NP^2
NP = sqrt(13/12)x

Подставляем значение RD:
RD^2 = 16 + 1/4x^2
Делим RD^2 на 4/9 x^2, получаем:
16 + 1/4x^2 = 13/12x^2
16 = 13/12x^2 - 1/4x^2
16 = 11/12x^2
12*16 = 11x^2
192 = 11x^2
x^2 = 192 / 11
x = sqrt(192 / 11) = 4√2 / √11 = 4√22 / 11

Подставляем значение x в выражение для NP:
NP = sqrt(13/12)x = sqrt(13/12) * 4√22 / 11 = 2√286 / 11

Ответ: длина отрезка NP равна 2√286 / 11.