Пусть скорость теплохода относительно воды равна V км/ч, а скорость течения реки равна С км/ч.

Тогда скорость теплохода по течению будет V + C км/ч, а скорость против течения будет V - C км/ч.

Исходя из условия задачи, имеем два уравнения:

10$V+C$ = L $1$ - теплоход проплывает расстояние за 10 часов по течению
12$V-C$ = L $2$ - теплоход проплывает расстояние за 12 часов против течения

где L - расстояние, которое проплыл теплоход.

Разделим оба уравнения на время и выразим расстояние:

L = 10$V+C$ $3$ L = 12$V-C$ $4$

Так как оба уравнения равны расстоянию, то $3$ = $4$:

10$V+C$ = 12$V-C$ 10V + 10C = 12V - 12C
2V = 22C
V = 11C

Таким образом, скорость течения реки С равна V/11 = 11/11 = 1 км/ч.

Ответ: скорость течения реки равна 1 км/ч.