Для решения данного уравнения необходимо найти такое целое число x, которое удовлетворяет условию x³ + 1 ≡ 0 (mod 125).

Посмотрим на возможные значения x по модулю 5:
x=0, 1, 2, 3, 4.

Подставим каждое значение в уравнение и найдем, при каком остатке при делении на 125 результат будет равен 0:

При x=0: 0³ + 1 ≡ 1 (mod 125)При x=1: 1³ + 1 ≡ 2 (mod 125)При x=2: 2³ + 1 ≡ 9 ≡ 9 (mod 125)При x=3: 3³ + 1 ≡ 28 ≡ 28 (mod 125)При x=4: 4³ + 1 ≡ 65 ≡ 65 (mod 125)

Таким образом, уравнение x³ + 1 ≡ 0 (mod 125) не имеет целочисленных решений.