Для нахождения производной функции y = ctg(x) используем определение производной:

lim (h->0) [ctg(x + h) - ctg(x)] / h

Теперь раскроем ctg(x + h):

ctg(x + h) = 1 / tan(x + h) = 1 / (sin(x + h) / cos(x + h)) = cos(x + h) / sin(x + h)

Теперь подставим это значение в формулу:

lim (h->0) [(cos(x + h) / sin(x + h)) - ctg(x)] / h

Упростим:

lim (h->0) [(cos(x + h)sin(x) - sin(x + h)cos(x)) / (sin(x + h)*sin(x))] / h

Раскроем скобки:

lim (h->0) [(cos(x)sin(h) - sin(x)cos(h)) / (sin(x)*sin(h))] / h

lim (h->0) [(cos(x)sin(h) - sin(x)cos(h)) / (sin(x)sin(h))] (1 / h)

lim (h->0) [(cos(x)sin(h) / (sin(x)sin(h)) - sin(x)cos(h) / (sin(x)sin(h))] * (1 / h)

lim (h->0) [(cos(x)/sin(x) - sin(x)/cos(x)) * (1 / h)

lim (h->0) [(cot(x) - tan(x))] / h

Таким образом, производная функции y = ctg(x) равна -cosec^2(x) = -1/sin^2(x).