На катетах ac и bc прямоугольного треугольника ABC вне его построенны квадраты ACDE и CBFK( вершины обоих квадратов перечислены против часовой стрелки) P- середина KD, Докажиье, что CP перпендикулярна AB
На катетах ac и bc прямоугольного треугольника ABC вне его построенны квадраты ACDE и CBFK( вершины обоих квадратов перечислены против часовой стрелки) P- середина KD, Докажиье, что CP перпендикулярна AB
Не можешь разобраться в этой теме?
Обратись за помощью к экспертам
Гарантированные бесплатные доработки в течение 1 года
Быстрое выполнение от 2 часов
Проверка работы на плагиат
Поможем написать учебную работу
Для начала заметим, что треугольник ABC является подобным треугольнику CBD (по сторонам – сторона CD общая, а углы при вершине C равны по условию задачи). Так как К и D являются серединами сторон AC и BC соответственно, то треугольник ABC подобен треугольнику CDB с коэффициентом подобия 2:1.
Теперь обратим внимание на квадраты ACDE и CBFK. Поскольку стороны квадратов параллельны сторонам треугольника и AC || DE, то также DE || BC, т.к. треугольник ABC подобен треугольнику CBD. Таким образом, получаем угол ADE = угол BDC.
Из этого следует, что треугольники ABC и ADC подобны по углам. Выпишем отношение сторон:
AB/AD = BC/CD = AC/ACD
AB = (1/2)AD => AD = 2AB
AC = 2ACD
=> AC = AD
Из подобия треугольников следует, что угол ABC четырехугольника ABCD прямой.
Наконец, так как угол ABC прямой, то в треугольнике APC угол ACP прямой, т.е. CP перпендикулярна AB.