Дано:
Апофема $высота$ пирамиды - h = 10 см
Двугранный угол при основании - α = 45°

Объëм правильной четырëхугольной пирамиды можно найти по формуле:
V = $1/3$ S h,

где S - площадь основания пирамиды.

Для нахождения площади основания S необходимо найти длину стороны четырëхугольной пирамиды. Для этого воспользуемся свойством прямоугольных треугольников:

sin$45°$ = a / h,
a = h sin$45°$ = 10 sin$45°$ = 10 * 0.7071 ≈ 7.071 см.

Теперь можем найти площадь основания S:
S = a^2 = 7.071^2 = 50 см^2.

Теперь можем найти объëм пирамиды:
V = $1/3$ S h = $1/3$ 50 10 = 166.67 см^3.

Ответ: объëм правильной четырëхугольной пирамиды равен 166.67 см^3.