Для решения этой задачи нам понадобится использовать свойства параллелепипеда.

Известно, что у параллелепипеда все грани параллельны соответствующим граням. Из условия задачи мы знаем, что угол BAD равен 60°. Так как BD и AD1 - диагонали параллелепипеда, то они пересекаются под углом $90^{\circ}$. Поскольку треугольник BAD является прямоугольным, то угол BDA равен $90^{\circ}$. Таким образом, угол BDA равен $90^{\circ}$.

Теперь рассмотрим треугольник BAD1. Так как угол BAD равен 60°, а DB и DA являются сторонами прямоугольного треугольника со сторонами равными, а значит равными у производных треугольников, то треугольник BDA эквилтерален. Значит, угол BAD1 тоже равен 60°.

Теперь рассмотрим треугольник BAD1. Он является прямоугольным, так как угол BAD равен 60°, угол BDA равен $90^{\circ}$ и угол BAD1 равен 60°. Следовательно, угол BCD1 (угол между диагональю B1D1 и плоскостью грани ADB1D1) равен $90^{\circ}$.

Итак, мы нашли, что угол между диагональю B1D1 и плоскостью грани ADD1A1 равен $90^{\circ}$.