1) Первое неравенство: x^2 - 5x + 53 < 0

Для начала найдем вершины параболы, заданной уравнением x^2 - 5x + 53 = 0. Вершина параболы имеет координаты x = -(-5)/(2*1) = 5/2 и y = 33/4.

Поскольку у коэффициента перед x^2 положительный, парабола направлена вверх. Так как вершина находится выше оси x, то неравенство x^2 - 5x + 53 < 0 не имеет решений.

2) Второе неравенство: x^2 - 5x - 53 < 0

Аналогично найдем вершины параболы, заданной уравнением x^2 - 5x - 53 = 0. Вершина параболы имеет координаты x = -(-5)/(2*1) = 5/2 и y = -43/4.

Так как вершина находится ниже оси x, то неравенство x^2 - 5x - 53 < 0 имеет решение.

3) Третье неравенство: x^2 - 5x + 53 > 0

Рассмотрим знак выражения для разных интервалов числовой оси:

a) x < 5/2: выражение положительно.
b) x > 5/2: выражение положительно.
Таким образом, данное неравенство всегда истинно.

4) Четвертое неравенство: x^2 - 5x - 53 > 0

Аналогично, рассмотрим знак выражения для разных интервалов числовой оси:

a) x < 5/2: выражение отрицательно.
b) 5/2 < x < 13/2: выражение положительно.
c) x > 13/2: выражение отрицательно.
Таким образом, данное неравенство имеет решение на интервале (5/2, 13/2).

Итак, из предложенных неравенств только второе (x^2 - 5x - 53 < 0) имеет решение.

Решим задание графическим методом.

Рассмотрим 2 параболы и определим их положение на координатной плоскости. Для решения задачи нам достаточно установить вершины парабол и направления их ветвей.

1) y=x^2-5x+53

Вершина:

x0=(-b)/(2a)=5/2=2,5

y0=2,5^2-5*2,5+53=6,25-12,5+53=46,75

(2,5;46,75) - находится в 1й координатной четверти;

а>0 - ветви направленны вверх ;

Это значит, что у функции нет корней (т.е. у графика функции нет пересечений с осью ОХ) и что график полностью располагается над осью OX, откуда следует , что функция y=x^2-5x+53 будет принимать только положительные значения.

Таким образом:

y=x^2-5x+53>0 : при любом х

y=x^2-5x+53<0 : решений нет.

2) y=x^2-5x-53

Вершина:

x0=(-b)/(2a)=5/2=2,5

y0=2,5^2-5*2,5-53=6,25-12,5-53=-59,25

(2,5;-59,25) - находится в 4й координатной четверти

а>0 - ветви направленны вверх

Отсюда следует, что график функции пересекает ось OX в 2 точках (уравнение y=0 имеет 2 корня: x1 и х2, причём х1<х2).

Таким образом:

x^2-5x-53>0 : на промежутках от -беск. до х1 и от х2 до +беск.

x^2-5x-53<0 : на промежутке от х1 до х2.