Для того чтобы найти площадь фигуры, ограниченной данными линиями, нам нужно найти точки их пересечения.

Найдем точки пересечения для линий y = (x-3)² и y = 1/2 x:

(x-3)² = 1/2 x
x² - 6x + 9 = 1/2 x
2x² - 12x + 18 = 0
x² - 6x + 9 = 0
(x-3)² = 0
x = 3

Точка пересечения: (3, 3)

Найдем точки пересечения для линий y = 1/2 x и y = 1/4 x³:

1/2 x = 1/4 x³
2x = x³
x² = 2
x = ±√2

Точки пересечения: (√2, √2) и (-√2, -√2)

Найдем точки пересечения для линий y = 1/4 x³ и y = x:

1/4 x³ = x
x³ - 4x = 0
x(x² - 4) = 0
x(x-2)(x+2) = 0
x = -2, 0, 2

Точки пересечения: (-2, -2), (0, 0), (2, 2)

Теперь найдем точки пересечения для линий y = x и 4x² - 9y + 18 = 0:

4x² - 9x + 18 = 0
(4x - 6)(x - 3) = 0
x = 6/4 = 1.5, x = 3

y = 1.5, y = 1.5

Точки пересечения: (1.5, 1.5), (3, 3)

Таким образом, фигура ограничена линиями y = (x - 3)², y = 1/2 x, y = 1/4 x³ и y = x и включает в себя точки (3, 3), (√2, √2), (-√2, -√2), (-2, -2), (0, 0), (2, 2), (1.5, 1.5), (3, 3).

Чтобы найти площадь фигуры, нужно найти площадь между этими линиями внутри этого рамки, а затем сложить их вместе. Для этого понадобится выполнить определенные интегралы, полагая площадь между каждой парой соответствующих линий.