1) Пусть длина прямоугольника равна х см, а ширина - у см. Тогда площадь прямоугольника равна S = xy = 16 см^2.

2) Периметр прямоугольника равен P = 2x + 2y.

3) Цель - минимизировать периметр прямоугольника. Для этого воспользуемся методом подстановки. Из уравнения площади найдем одну переменную через другую:

y = 16 / x.

Подставим это выражение в уравнение периметра:

P = 2x + 2 * (16 / x) = 2x + 32/x.

Дифференцируем выражение для периметра по переменной x и приравниваем к нулю, чтобы найти экстремум:

dP/dx = 2 - 32/x^2 = 0.

Отсюда получаем:

2 = 32/x^2,
x^2 = 16,
x = ±4.

Так как размеры прямоугольника не могут быть отрицательными, то выбираем положительное значение x = 4.

Из уравнения площади найдем значение y:

y = 16 / 4 = 4.

Таким образом, чтобы периметр прямоугольника был наименьшим, его размеры должны быть x = 4 см и y = 4 см.