Данное уравнение можно представить в виде квадратного уравнения относительно tan x:

(tan x)^2 + 3 tan x = 0

Подставим tan x = t:

t^2 + 3t = 0

Решим это квадратное уравнение:

t(t + 3) = 0

Отсюда получаем два возможных решения:

1) t = 0
tan x = 0
x = 0 + πn, где n - целое число

2) t + 3 = 0
t = -3
tan x = -3
x = arctan(-3) + πn, где n - целое число

Итак, решение уравнения tan^2x + 3 tan x = 0:
x = 0 + πn, где n - целое число
x = arctan(-3) + πn, где n - целое число