Для начала найдем ортонормированный базис линейной оболочки вектора (1, 3, -1, 1).

Линейная оболочка вектора (1, 3, -1, 1) представляет собой все линейные комбинации этого вектора. То есть, любой вектор в этой линейной оболочке можно представить в виде a(1, 3, -1, 1), где a - произвольное число.

Чтобы найти ортонормированный базис этой линейной оболочки, применим процесс ортогонализации Грама-Шмидта.

Начнем со вектора (1, 3, -1, 1). Нормируем его, разделив на длину:
v1 = (1, 3, -1, 1) / √(1^2 + 3^2 + (-1)^2 + 1^2) = (1/√12, 3/√12, -1/√12, 1/√12).

Затем добавим второй вектор, который не будет коллинеарным с v1, например (0, 1, 0, 0). Нормируем его:
v2 = (0, 1, 0, 0) / √(0^2 + 1^2 + 0^2 + 0^2) = (0, 1, 0, 0).

Теперь базис (v1, v2) линейной оболочки вектора (1, 3, -1, 1) ортогонален и нормирован.

Следовательно, ортонормированный базис ортогонального дополнения линейной оболочки вектора (1, 3, -1, 1) будет включать в себя ортонормированный базис (v1, v2) и два дополнительных ортонормированных вектора для пространства, ортогонального линейной оболочке вектора (1, 3, -1, 1).