Пусть катет, равный 12 см, соответствует катету b, а гипотенуза – c. Так как радиус описанной окружности (р) равен 6,5 см, то он равен половине гипотенузы: r = c/2.

По теореме Пифагора:

a^2 + b^2 = c^2,

где a – другой катет треугольника.

Заметим, что треугольник также является равнобедренным, так как радиус описанной окружности проведен к вершине прямого угла и делит его на два равных угла. Следовательно, a = b.

Таким образом, уравнение примет вид:

a^2 + a^2 = (2a)^2,

2a^2 = (2a)^2,

2a^2 = 4a^2,

a = c = 2b.

Заменим c на 2b:

b^2 + (2b)^2 = (2b)^2,

b^2 + 4b^2 = 4b^2,

5b^2 = 4b^2,

b^2 = 4b^2,

b = 4b.

Таким образом, катет b равен 3 см, а гипотенуза c равна 6 см.

Теперь можем найти площадь треугольника, используя формулу для площади прямоугольного треугольника: S = 0,5 a b,

S = 0,5 12 3 = 18 кв. см.

Ответ: площадь треугольника равна 18 кв. см.