Для нахождения объема пирамиды используем формулу:

V = (1/3) S h,

где S - площадь основания, h - высота пирамиды.

Так как у нас правильная четырёхугольная пирамида, то ее высота равна высоте боковой грани. Для нахождения высоты нам необходимо найти катет треугольника, образованного боковым ребром пирамиды, ее высотой и половиной диагонали основания.

Из условия видно, что у нас правильный треугольник с углом 60 градусов. Значит, для вычисления катета и гипотенузы можно воспользоваться теоремой косинусов:

cos(60) = катет / гипотенуза,

0,5 = катет / 6,

катет = 3.

Далее находим высоту пирамиды:

h = √(h1^2 - r^2),

где h1 - высота боковой грани, r - радиус вписанной окружности в основании пирамиды.

Зная, что боковое ребро равно 6 корню из 3, то длина радиуса вписанной окружности:

r = (6 * √3) / 2 = 3√3.

Затем находим высоту:

h = √(6^2 - 3^2) = √27 = 3√3.

И подставляем все значения в формулу для объема:

V = (1/3) (6 6) * (3√3) = 36√3.

Ответ: объем пирамиды равен 36√3 кубических сантиметров.